Дивовижний диск Ейлера
Колись, в кінці 19 століття математиками були виведені рівняння руху для котиться диска, потім інші вже, але настільки ж невтомні математики, досліджували проблему стійкості дисків при обертанні. Рух обертового диска добре описується рівняннями дзиги в гравітаційному полі.
У наш час в магазинах будь-якому любителю «покрутити» запропонують фірмову іграшку «диск Ейлера». Чудовий металевий диск з голографічними наклейками по ободу буде крутитися перед вашими очима на дзеркальній підставці, зачаровуючи грою кольору і звуку.
Хто ж був автором цієї іграшки? Невже сам Леонард Ейлер, знаменитий математик 18 століття? Адже якась частина його робіт теж була присвячена обертанню ...
В якості іграшки обертовий диск був вперше пред'явлений глядачам Джозефом Бендиком в 90-х роках 20-го століття. Провівши спостереження за обертовою монетою, він зумів домогтися, щоб диск обертався до 3 хвилин і навіть більше. Винахід Дж. Бендика являв собою плоский диск у вигляді хокейної шайби з хромованої сталі з полірованими округленими краями діаметром в 3 дюйми й товщиною в ½ дюйма. Диск обертався на злегка увігнутому круглому дзеркалі діаметром 9 дюймів.
Отже, диск Ейлера - це тверде циліндричне тіло, що має єдину точку контакту з горизонтальною поверхнею, по якій він одночасно і котиться, і обертається.
Цікаво, що рух диска має дві особливості: різке збільшення частоти чутного звуку в кінці обертання і раптову зупинку диска. Причому обертовий диск ніколи не втрачає контакту з поверхнею.
Час обертання диска майже не залежить від того, під яким кутом був закручений диск, і яка була його швидкість обертання при пуску.
Обертання дисків перевіряли навіть у вакуумі! Запускали суцільні диски, просто кільця та кільця з покриттям з тефлону. Виявляється, що відсутність повітря не дуже сильно впливало на поведінку обертового диска, хоча тефлонове покриття значно збільшувало час обертання.
Чим швидше обертається диск, тим він більш стійкий при коченні. Це явище, в якому швидкість пропорційна стабільності, характерно для супутників, що обертаються навколо землі.
При обертанні запущений диск має одночасно і потенційної і кінетичної енергією. Потенційною - за рахунок вертикального положення і кінетичної - за рахунок обертання. У будь-який момент обертання баланс двох сил: сили тяжіння і реакції опори не дають диску впасти. І, якби не тертя і вібрації, диск обертався б протягом дуже довгого часу.
Але, як і при будь-якому іншому русі, на швидкість обертання впливає загальмовуються сила тертя об повітря, а також тертя між диском і поверхнею. Кінетична енергія обертання диска, втрачена в результаті наявного тертя, компенсується за рахунок зменшення потенційної енергії диска. В результаті центр маси диска опускається, все більше наближаючись до поверхні, на якій відбувається його обертання. Це збільшує плече моменту сили між точкою контакту з поверхнею і центром маси, що призводить до зростання обертального моменту. Збільшення обертаючого моменту поступово змінює напрямок осі обертання, яка займає все більш вертикальне положення.
Диск починає осідати, прокручуючи на ребрі. Кут нахилу між диском і поверхнею стає все менше. Швидкість обертання диска зростає. Різкого збільшення частоти обертання диска сприяє тонкий прошарок повітря між диском і поверхнею, на якій він обертається. Внутрішнє тертя повітря сприяє гальмування монети. При дуже малому куті нахилу вібрації диска і поверхні призводять до втрати контакту між ними, і рух диска різко припиняється.
Хоча частота обертання збільшується в міру падіння диска, це, однак, не є головним джерелом наростаючого звуку при падінні диска. Звук утворюється за рахунок вібрування самого диска і поверхні, по якій він рухається. Вібрації диска і поверхні призводять, врешті-решт, до втрати контакту між ними, а зіткнення диска і поверхні припиняє рух.
Дивимося, як обертається диск Ейлера?
На перший погляд все простенько, але що ви скажете про такі поняття, як сингулярність, дисипація, біфуркації? А при поясненні фізики руху «диска Ейлера» без них не обійтися!
Теорія, що описує рух диска, виявилася дуже складною, і вченими, які займалися проблемами обертання диска Ейлера, написані серйозні наукові роботи, що дають математичний аналіз руху цієї забавної іграшки.
Ось так! Нарешті, скуштувавши таємниці фізики руху диска і навчившись вимовляти «страшні слова» (сингулярність, дисипація і біфуркації), ми останній раз ставимо на ребро диск Ейлера, розкручуємо його і заспокоєні побаченим (а все виявилося саме так, як пишуть імениті вчені) кладемо на полку.
Невідоме стало відомим, але може бути не все?
Допитливий людина буде вражений тим, скільки цікавих завдань можна вирішити за допомогою цієї маленької іграшки.
В результаті дослідницьких робіт проведено навіть аналогії між зміною звуку при обертанні диска і звуками «верещання» гальм автомобілів. Частина енергії диска на заключному етапі обертання переходить в енергію звукових коливань, і те ж саме відбувається в гальмах при екстренному гальмуванні автомобіля.
Ось виявляється, як багато можна побачити в обертанні звичайної монети, а вже тим більше, якщо у тебе в руках така наукова іграшка, як «диск Ейлера»!
P.S. для викладачів:
Тепер можна сміливо сказати, що обертається монету, а вже тим більше таку чудову іграшку, як «диск Ейлера», треба обов'язково розглядати в якості навчального посібника на заняттях з механіки! Адже, як відомо, іграшки роблять процес пізнання більш цікавим навіть для старших школярів і студентів!
Не вірите?
А ви покрутіть монету на уроці ...
А ну, крутаніть монетку ребром на столі! Вже
крутиться? А
перед самим падінням вона раптово збільшить швидкість обертання і різко
загальмує, видаючи деренчливий звук, але не даючи ні насолодитися їм, ні
розглянути уважніше процес падіння.
Упала ... шкода, що не дуже довго крутилася ... ((
Цікаво? І не тільки вам!
Упала ... шкода, що не дуже довго крутилася ... ((
Цікаво? І не тільки вам!
Колись, в кінці 19 століття математиками були виведені рівняння руху для котиться диска, потім інші вже, але настільки ж невтомні математики, досліджували проблему стійкості дисків при обертанні. Рух обертового диска добре описується рівняннями дзиги в гравітаційному полі.
У наш час в магазинах будь-якому любителю «покрутити» запропонують фірмову іграшку «диск Ейлера». Чудовий металевий диск з голографічними наклейками по ободу буде крутитися перед вашими очима на дзеркальній підставці, зачаровуючи грою кольору і звуку.
Хто ж був автором цієї іграшки? Невже сам Леонард Ейлер, знаменитий математик 18 століття? Адже якась частина його робіт теж була присвячена обертанню ...
В якості іграшки обертовий диск був вперше пред'явлений глядачам Джозефом Бендиком в 90-х роках 20-го століття. Провівши спостереження за обертовою монетою, він зумів домогтися, щоб диск обертався до 3 хвилин і навіть більше. Винахід Дж. Бендика являв собою плоский диск у вигляді хокейної шайби з хромованої сталі з полірованими округленими краями діаметром в 3 дюйми й товщиною в ½ дюйма. Диск обертався на злегка увігнутому круглому дзеркалі діаметром 9 дюймів.
Отже, диск Ейлера - це тверде циліндричне тіло, що має єдину точку контакту з горизонтальною поверхнею, по якій він одночасно і котиться, і обертається.
Цікаво, що рух диска має дві особливості: різке збільшення частоти чутного звуку в кінці обертання і раптову зупинку диска. Причому обертовий диск ніколи не втрачає контакту з поверхнею.
Час обертання диска майже не залежить від того, під яким кутом був закручений диск, і яка була його швидкість обертання при пуску.
Обертання дисків перевіряли навіть у вакуумі! Запускали суцільні диски, просто кільця та кільця з покриттям з тефлону. Виявляється, що відсутність повітря не дуже сильно впливало на поведінку обертового диска, хоча тефлонове покриття значно збільшувало час обертання.
Чим швидше обертається диск, тим він більш стійкий при коченні. Це явище, в якому швидкість пропорційна стабільності, характерно для супутників, що обертаються навколо землі.
При обертанні запущений диск має одночасно і потенційної і кінетичної енергією. Потенційною - за рахунок вертикального положення і кінетичної - за рахунок обертання. У будь-який момент обертання баланс двох сил: сили тяжіння і реакції опори не дають диску впасти. І, якби не тертя і вібрації, диск обертався б протягом дуже довгого часу.
Але, як і при будь-якому іншому русі, на швидкість обертання впливає загальмовуються сила тертя об повітря, а також тертя між диском і поверхнею. Кінетична енергія обертання диска, втрачена в результаті наявного тертя, компенсується за рахунок зменшення потенційної енергії диска. В результаті центр маси диска опускається, все більше наближаючись до поверхні, на якій відбувається його обертання. Це збільшує плече моменту сили між точкою контакту з поверхнею і центром маси, що призводить до зростання обертального моменту. Збільшення обертаючого моменту поступово змінює напрямок осі обертання, яка займає все більш вертикальне положення.
Диск починає осідати, прокручуючи на ребрі. Кут нахилу між диском і поверхнею стає все менше. Швидкість обертання диска зростає. Різкого збільшення частоти обертання диска сприяє тонкий прошарок повітря між диском і поверхнею, на якій він обертається. Внутрішнє тертя повітря сприяє гальмування монети. При дуже малому куті нахилу вібрації диска і поверхні призводять до втрати контакту між ними, і рух диска різко припиняється.
Хоча частота обертання збільшується в міру падіння диска, це, однак, не є головним джерелом наростаючого звуку при падінні диска. Звук утворюється за рахунок вібрування самого диска і поверхні, по якій він рухається. Вібрації диска і поверхні призводять, врешті-решт, до втрати контакту між ними, а зіткнення диска і поверхні припиняє рух.
Дивимося, як обертається диск Ейлера?
На перший погляд все простенько, але що ви скажете про такі поняття, як сингулярність, дисипація, біфуркації? А при поясненні фізики руху «диска Ейлера» без них не обійтися!
Теорія, що описує рух диска, виявилася дуже складною, і вченими, які займалися проблемами обертання диска Ейлера, написані серйозні наукові роботи, що дають математичний аналіз руху цієї забавної іграшки.
Ось так! Нарешті, скуштувавши таємниці фізики руху диска і навчившись вимовляти «страшні слова» (сингулярність, дисипація і біфуркації), ми останній раз ставимо на ребро диск Ейлера, розкручуємо його і заспокоєні побаченим (а все виявилося саме так, як пишуть імениті вчені) кладемо на полку.
Невідоме стало відомим, але може бути не все?
Допитливий людина буде вражений тим, скільки цікавих завдань можна вирішити за допомогою цієї маленької іграшки.
В результаті дослідницьких робіт проведено навіть аналогії між зміною звуку при обертанні диска і звуками «верещання» гальм автомобілів. Частина енергії диска на заключному етапі обертання переходить в енергію звукових коливань, і те ж саме відбувається в гальмах при екстренному гальмуванні автомобіля.
Ось виявляється, як багато можна побачити в обертанні звичайної монети, а вже тим більше, якщо у тебе в руках така наукова іграшка, як «диск Ейлера»!
P.S. для викладачів:
Тепер можна сміливо сказати, що обертається монету, а вже тим більше таку чудову іграшку, як «диск Ейлера», треба обов'язково розглядати в якості навчального посібника на заняттях з механіки! Адже, як відомо, іграшки роблять процес пізнання більш цікавим навіть для старших школярів і студентів!
Не вірите?
А ви покрутіть монету на уроці ...
Ну все... тримайся, фізику)
ВідповістиВидалити